[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 7)

http://tinyurl.com/4kfwxs9

7 Translation functor

7.1~7.2 證明 Translation functor :
        (1) is an exact  functor
        (2) 和 restricted dual 交換
        (3) takes projectives to projectives
        (4) is adjoint

7.3~7.4 介紹 Weyl group geometry,
        因此可以講 non-integral weights 的 relative integral behavior

7.5~7.10
        證明打去 closure 的 translation functor
        (1) 把 Verma module 打成 Verma module
        (2) 把 Simple module 打成 simple module 或 0
            並刻劃他的 vanishing criterion
        (3) formal character 如何變化

        所以落在同一個 facet 的 dual translation functors
        可給出 Grothendieck group isomorphism,
        也成了它們對應的 block 的 inverse equivalence

        最後, 研究從 closure 打回來的 translation functor 的作用


http://tinyurl.com/47merhy

7.13 Example:
在 4.10 我們證明, 在某些情況下,
translation functor 把 $M(-\rho)$ 打成 projective cover $P(w_\circ\cdot\lambda)$
且其 Verma flag factors 都恰好出現一次

這一節我們證明他的推廣版本

7.14 ~ 7.16

我們定義 Wall-crossing functors $\Theta_s$
和 Shuffling functors Sh
並且證明 $\Theta_s M(w\cdot\lambda)$ 是 $M(ws\cdot\lambda)$ 和 $M(w\cdot\lambda)$ 的 non-trivial extension.

然後用此證明一個定理:
Projective cover $P(\lambda)$ is self-dual iff $\lambda$ is antidominant


至此 Translation functor 總算是念完了 可喜可賀