群、環、體的由來

這些名詞都是數學家命名的,
選取這個字的由來, 端看當時寫文章的人
腦中對於這個概念賦予了什麼樣的形狀,
他用這個名字, 如果大家接受, 就會沿用下去

名字也會變, 譬如說以前 algebra 叫做 hypercomplex system...等等



群

最早的概念是 1770 Lagrange 解多項式的工作
題外話: 我認為太多人太神化 Galois 了
方程式根式解問題很多關鍵的工作都是 Lagrange 奠基的
並且, 第一個證明五次方程不保證有根式解是 Abel, 不是 Galois
不過 Galois 年紀輕輕就充分理解並有新想法這部份真的是天才

有限群的第一個抽象定義出現在 1854 年 Cayley 的文章
"On the theory of groups, as depending on the symbolic equation $\theta^n = 1$"
(Dedekind 在 1858 年於歌廷根演講 Galois theory 時也給了一個定義)
(無限群的抽象定義則是 von Dyck 於 1882 年給出)

他先給出了定義, 再舉例說明以下結構都是 group:
1) Hamilton quaternion
2) invertible matrices
3) permutations
4) Gauss' quadratic forms

再由建構乘法表的方法分類 groups of order 4 & 6,
觀察 $C_n$ 與方程式 $x^n-1 = 0$ 的關係,
最後 state 出現在大家熟知的 Cayley Theorem

體

第一個抽象定義出現在 Weber 1893 年的文章
"General foundations of Galois' theory of equations"
顧名思義, 整篇文章就是在講 Galois theory.
他的 field 的定義已經和現在的課文很像了,
不過他主要是用來描述 Galois theory,
而不是把 fields 作為一個研究的主題

環

這個比較難講, 因為最早非交換環和交換環的定義是分開的
非交換環第一個例子是 1843 年 Hamilton 的 quaternion,
大家熟知的矩陣環則在 1855 年由 Cayley 提出

交換環的第一個例子是 1829 年的 Gaussian integer Z[i]
同時代數數論和代數幾何也有很多重要的工作,
幾乎都以 Unique Factorization Domain 的樣貌出現,
比較親和的多項式環則是在 1870 年由 M. Noether 提出

環的第一個抽象定義出現在集合學家 Fraenkel 1914 年的文章
"On zero divisors and the decomposition of rings"
這才把之前分歧的 "非交換環" 和 "交換環" 的定義整合起來
不過因為交換與否對於理論本身的影響甚劇
所以他嘗試建立一套理論涵蓋兩者的工作以失敗告終.


參考資料: A History of Abstract Algebra, I. Kleiner