[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (4.8 ~ 4.12)

Chapter 4 Highest Weight Modules I
http://tinyurl.com/4t8sexd

4.9 Blocks of O

對於 nonintegral cases
也能確實寫出 O 的 blocks 長什麼樣子

4.10 Antidominant Projectives

描述 Projective covers of antidominant weights
知道任何 linked weight 的 Verma module 在其 Verma flag 中恰出現一次
也知道他 self-dual

以 translation functor 的語言來說 就是

        $T_{-\rho}^{w_\circ\cdot\lambda}$ 把 $M(-\rho)$ 打到 $P(w_\circ\cdot\lambda)$

4.11 Application to sl(3,C)

為計算 ch M(w‧λ) 做熱身

4.12 Shapovalov elements

要 explicitly 構造 M(s_γ‧λ) → M(λ) for arbitrary γ > 0
需有元素 u 使得 u‧v+ 也是個 maximal vector

一般來說 u 會由 λ 決定
但是我們可以構造 Shpovalov element θ 獨立於 λ 的選取
這元素的存在性可以用來證明 Jantzen filtration 存在性定理中
Jantzen sum formula 成立的部份