Harish-Chandra Theorem

證明大綱

這真的是一個很長的大定理....
雖然概念可以像是這個文件般內描述
但是每一個小細節的 lemma 都很費功夫

我在 seminar 講的時候都覺得頭髮被粉筆灰染白了 \o\



證明這個以後立即有兩個 corollary:

(a) If $\lambda,\mu\in\mathfrak{h}^*$, then:
    central characters $\chi_\lambda=\chi_\mu$ $\Leftrightarrow$$\lambda$ and $\mu$ are $W$-linked
(即$\lambda$= $w(\mu+\rho)-\rho$ for some $w$ in Weyl group $W$)
(其中$\rho$ = sum of fundamental weights)

大意是用 Langrange Interpolation 構造 polynomial $f\in S(\mathfrak{h})$
將 $W\cdot\lambda$和 $W\cdot\mu$ 分開

再取平均構造 $W$-invariant polynomial $g$ 也將 $W\cdot\lambda$和 $W\cdot\mu$ 分開 矛盾


(b) 任何 central character $\chi=\chi_\lambda$ for some $\lambda \in \mathfrak{h}^*$

雖然是 corollary
但是這也要用到 Going Up Theorem

也可以保證 Verma modules 有 finite filtration length
和 $\mathcal{O}$ 可以合理的拆解成 full subcategories related to central character