淺談拓樸學

拓樸學是我在唸之前毫無概念但是又一直想了解的學門
其實理解他的障礙也有一部分是因為 topology 這個字很難望文生義
他的字源是 topolos "place" 其實和他的意思幾乎一點關係也沒有

拓樸學啟發自分析與幾何
我們學微積分知道
  1. 實數有微積分基本定理 霹靂無敵威 可以做很多事情
  2. 閉區間上連續函數有:
     (a) 中間值定理
     (b) 極值定理
     (c) 均勻連續定理
     保證了均值定理 才得以證明 微積分基本定理

追根究底的數學家們就在想
"究竟是什麼東西 讓閉區間這麼好 可以保証上面三個定理成立?"

如果將 閉區間 [a,b] 視為點的集合
那麼我們的資訊非常少 只知道這個集合中有無限多點
但是 (a,b) 中也有無限多點啊! 為什麼 閉區間可以 開區間就不行?

數學家們就發現
由集合面刻劃閉區間是不夠的 還必須搭上"元素之間的關係"
於是在高微中我們學習了metric spaces 上的點集拓樸來分析
知道:
  1. 連通性(connectness) 讓 (a) 成立
  2. 緊緻性(compactness) 讓 (b) (c) 成立

數學家當然不會為此滿足
因為 實數 (或 metric spaces) 實在是太好了
你看看 元素之間居然可以比大小 (可以測出距離耶)
所以會認為我們在高微中看到的這些其實是不是事情真正的道理

真正的道理是什麼?
數學家驚奇的發現 真正的道理在於集合上的開集長什麼樣子!

真正的道理就是把集合搭上"拓樸" 稱作拓樸空間(或空間) 就可以解釋這一切
"拓樸"就是把 這個集合的某一些子集抓出來
(偷偷地)確認一下它們符合該有的三個條件
指著它們說 "好 你們就是這個集合的 open subsets"

於是連續函數可以用 topology 來看
超越了微積分的 epsilon-delta 定義
但是拓樸學上的 "開集回來還是開集" 定義 也有等價的
"要多近有多近"的定義

除了剛才提到的連通性和緊緻性以外
拓樸一定下來 就可以知道一個空間有多好

能找到 open set 將:
  (1) 任兩點
  (2) 任一點和一閉集
  (3) 任兩閉集
      分開就是所謂的 separation axioms

而分析拓樸的 basis 就是所謂的 countability axioms

猶記我們剛剛提到 metric spaces 實在是霹靂無敵好
現在再提一個 compact Hausdorff spaces 也是宇宙無敵好
此外 實用時我們也常常定義 infinite product space
     卻不了解我們定出了什麼怪物

一般拓樸中 核心的定理就是:

  (1) Metrization 定理 刻劃空間可賦 metric 的充要條件
  (2) Stone-Cech compactification 刻劃空間可以拓展成緊緻空間的充要條件
  (3) Tychonoff 定理 證明無限個 compact spaces 乘起來萬幸也還 compact

至此 有人宣稱一般拓樸已大致底定
只剩下一些瑣碎的工作

但是!
探討空間中同胚(homeomorphism)的情況
需要研究什麼性質是 homeomorphism 映射下的不變量(即所謂的拓樸性質)

這需要引入代數方法
計算空間的 fundamental groups
或是 homology/cohomology groups
在其他高等數學中是超級重要的工具
便為拓樸開啟了新的一章 就是代數拓樸!