推薦一本書

Group Characters, Symmetric Functions, and the Hecke Algebra

當初只是為了找 Hecke algebra 的相關資料借了這本書
發現他講群表現的思路很好 (推薦第二次以後看)

這是一本很薄的書, 許多證明省略, 需要自己補起來, 但好處就是很順暢

上面的連結有 ams 提供的完整下載

[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 9)

Chp 9 Parabolic Category Op

對 reductive Lie algebra $\mathfrak{g}$ 我們可以定 parabolic subalgebra (PSA) $\mathfrak{p}$ Standard PSA 和 simple reflections 的子集一一對應, 共 $2^\text{rank}$ 個

固定一個 standard PSA $\mathfrak{p}$, 我們可以定 parabolic category $\mathcal{O}^\mathfrak{p}$,
是 category $\mathcal{O}$ 的 full subcategory, 其 objects 滿足一些條件:

[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 8)

Chp 8 Kazhdan-Lusztig Theory

這章因為預備知識太多, 省略困難的幾何證明
但是也大略給了定義, 定理敘述和例子, 包含:

Hecke Algebras
KL conjectures
Schbert Varieties
Vogan's conjecture
KLV polynomials
Jantzen conjecture
Loewy filtrations

範疇論 (category) 簡介

Category 簡介:

古典代數中, 我們看代數"結構"過度著重於他的"物件"
譬如說我們講 module theory, 心中想到的是一顆一顆的 module
但是愈來愈受到重視的是 "物件間的保結構映射", 通稱 morphisms

1. 比方說, 最簡單的 non-trivial 結構應該就是 向量空間了,
   它身為物件簡單到不能再簡單了,
   但是它的 morphisms, 也就是 linear maps (matrices) 卻要花上好幾門課探討

2. 從另外一個方向看, 研究 modules 的人把問題 reduce,
   做完了所有 irreducible modules 的分類, 可喜可賀.
   但是只有"夠好"的 狀況下才可以說任何 module 都是這些最小單位的 direct sum
   換成 homological algebra 的語言, 就是 extensions always split

   在 non-split extensions 的情況, 就要考慮 $\text{Ext}(A,B)$ 的 dimension,
   以決定有幾"種"方式把 irr. module 兜回去

   而 $\text{Ext}(A,B)$ 可被證明等價於 $\text{Hom}$ 的 1 次 derived functor
   所以我們必須好好研究 $\text{Hom}$, 也就是物件的 morphisms.

3. 有些人想要把這種概念抽象化,
   把所有 (objects, morphisms) 做分類,
   但是要把這個"一樣"說請楚要一番功夫,
   要先定義 category, 才能定義 functor,
   才能把這個"一樣", 也就是 natural transformation 講清楚