Frobenius

禮拜三康老講了我才知道

    Frobenious 是 Dedekind 的學生，後繼是 Schur，他們在十九、二十世紀的交界把群表現整個建立起來。

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    我們國中的時候應該都看過一題:
    「分解 x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz」

    應該是人生中遇到的第一個 non-trivial 的因式分解。

    那時應該都只覺得「喔，因式應該會有 x + y + z 吧」，然後拿去除就會發現剩下的項是 (x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)

    那時候可能會覺得，這只是雕蟲小技，這輩子分解過一次以後就再也不會遇到了，即使再遇到，也就只是故技重施。

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    學了代導以後，才確實知道這個式子能分解，是因為一個大定理:
    「所有對稱多項式都能分解成基本對稱多項式的組合。」

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    我禮拜三才知道，這東西確實在數學史上佔了一席之地。

    當初 Frobenious 在研究 group determinant，定義是:

    給定 group G，內有 n 個元素，可以用 G 中的元素來表一個 n by n 矩陣 A_x,y
      其中 A_x,y = x(y^-1) 而 det(A) 即為 group determinant

    例:
      Cyclic group C3 = {1, σ, σ^2} 令 x = 1; y = σ; z = σ^2
                ┌x z y┐
      有 A =　│y x z│, det(A) = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz
                └z y x┘

    喔，天哪，居然是你，我們又見面了
    而 Frobenious 做出來的，是 group determinant 可以寫成此群 character table 作為係數的式子相乘。

    例:

    x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x + ωy + ω^2 z)(x + ω^2 y + ωz)

    而 1     1      1     恰好是 C3 的 character table
         1    ω    ω^2
         1  ω^2    ω

    居然是你，太神奇了。