代數發展簡史

＊在十九世紀以前，「代數」即「算術」，Algebra 源自「將等號一端負項變號移到另 一端」，數學家爭相較競誰能又快又好的解方程式。

＊而在十九世紀時所有的數學研究都導向一個逐漸明朗的核心，所有美妙道理的根源 — 「群(groups)」:

1.   古典代數   
   
   Lagrange 提出了 「預解式(resolvent)」，啟發了 Abel 證明「一元五次以上方程式不保證有根式解」、使 Galois 基於 根的置換群(Permutation groups) 刻劃了方程式可解性。
   
2.  代數數論
   
   交換群(Abelian groups)的概念隱含在 Gauss 的 binary quadratic forms、 Kummer 的 Cyclotomic fields、Kronecker 推廣至任意 algebraic number fields 的研究中。而 Frobenius 和 Stickelberger 於 1879 將其中的精華用群論的語言寫出，即「Basis Theorem for Finite Abelian Groups」
   
3. 幾何學/分析    
   
   Klein 受 Galois 理論啟發，將原先著眼於「有限、分散的根」的 theory of  permutations 推廣成在「無限、連續的流形(manifolds)」的 theory of transformations. 而 Klein 和 Lie 聯手將「幾何/分析 物件上變換的 groups of changes」完全分類。

＊同樣地，「環(rings)」和「域(fields)」各有其背景，再淬鍊出它的抽象概念。

＊另一方面：
  「環」即一個 "加法交換群" 搭上 定義良好的 "乘法"
  「域」即一個 "交換可除環"
  「向量空間」即一個 "加法交換群" 搭上 定義良好的 "純量乘法(在一域上)"
  「李代數」即一個 "向量空間" 搭上 定義良好的 "Lie bracket"

  撇開外在的事實背景讓這些物件重要不提，光是外在賦與"運算"便能使原始的物件能
  產生繁多的美妙性質，這是多麼美麗，這就是代數。

                                                           2010.03.19 於南港